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도형은 원래가 어렵고도 어렵다!

아직 어린 중학생들에게 수학의 '도형' 편은 그만큼 어렵기만 합니다. 중학교 과정에서 배우는 도형은 정확히 말해 '평면기하'에 해당됩니다. 기원전 3세기경 유클리드가 정리한 탓에 흔히 '유클리드 기하학'이 라고 불리는, 평면상에서 도형의 여러 가지 성질을 연구하는 학문인 거죠. 결국 평면기하, 즉 도형은 기하학의 기초, 그러니까 해석기하나 미분기하 같은 고급 기하로 넘어가기 위한 준비 단계에 해당하는 셈이죠.
이렇게 설명하면 이 도형이라는 게 그다지 어려워 보이지 않습니다. 하지만 유감스럽게도 도형은 구조적으로 잘하기가 어렵게 되어 있습니다.
우선 도형은 추상적 사고뿐만 아니라 논리적 사고까지 요구합니다. 가령 맞꼭지각[對頂角] 정리의 경우를 보죠. 이걸 문장으로 풀어 말하면 '한 점 O에서 만나는 두 직선에 의해 만들어지는 4개의 각 중에서 꼭지점과 2개의 변을 공유하며 서로 마주 보고 있는 각인 맞꼭지각은 서로 같다.'가 됩니다. 이 중 '한 점 O에서 만나는 두 직선에 의해 만들어지는 4개의 각 중에서 꼭지점과 2개의 변을 공유하며 서로 마주 보고 있는 각'은 맞꼭지각의 정의(definition), 즉 뜻에 해당합니다. 그리고 '맞꼭지각은 서로 같다'는 참이라고 증명된 명제 중에서도 기본이 되는 정리(theorem)에 해당합니다.
이것을 어떻게 증명해야 할까요? 과연 이게 열서너 살짜리 아이들에게 쉬운 일일까요?

도대체 누구에게 물어봐야 하지?

문제는 수업 시간마저 부족하다는 겁니다. 도형의 경우 2학기 수학 수업 중에서도 일부밖에는 수업을 할애할 수가 없습니다. 뭐, 그래도 100개 좀 넘게 정리를 증명하면 끝 아니냐고요? 문제는 그 각각의 정리를 증명하기 위해서는 다른 정리를 필요로 하는 경우가 허다하다는 겁니다. 결국 100여 개의 정리를 증명하기 위해서는 앞의 증명을 반복하지 않으면 안 되는 경우가 허다한 만큼 증명을 적어도 몇백 개쯤은 해야 한다는 거죠.
게다가 그 과정에서 이제 열서너 살짜리 아이들에게 '증명 없이 참으로 인정하는 명제'로서 '기하학이 성립하기 위한 전제'에 해당하는 공리라는 희한한 놈을 가르쳐야 합니다. 물론 문제 풀이도 해 줘야 합니다. '자, 이 정리에 의하면 이렇지? 그 상태에서 저 정리를 이용하면 이렇게 되고..' 해 가면서요.
사정이 이렇다 보니 선생님들도 자상하게 설명해 주기 어렵습니다. 하나 제대로 걸리면 30분은 족히 설명해야 하는데, 그게 쉽지 않으니까요. 예? 참고서 좋은 걸로 보면 되지 않느냐고요? 한번 찾아보십쇼. 의외로 도형에 관해 친절하게 설명한 참고서는 보기 어렵습니다. 예쁘고 단정하게 정리된 참고서는 많지만... 그렇다고 부모님이 도와줄 수도 없습니다. 부모님이 이공계 교수나 연구원이 아닌 이상 대개는 도형이 머릿속에서 싸악～! 지워졌기 때문입니다.

도형을 공부하면 생각하는 법이 저절로!

도형의 경우 아예 손을 놓아버리는 아이들이 적지 않은 것도 그래서입니다. 그래도 별달리 문제될 것이 없어 보입니다. 도형 문제가 수학 전체에서 차지하는 비중은 대체로 1/3 이하이니 그만큼의 점수만 포기하면 되니까요. 하지만 대학에 가면 사정이 달라집니다. 경험자들이 그렇게 말하더군요.

중고등학교 시절 기하, 즉 도형은 요즘 아이들 하는 말로 하자면 '비추'였다. 삼각형 내각의 크기 합이 180도라는 사실을 도대체 어디에 써먹는단 말인가. 학습의 연속성이라는 측면에서도 기하는 문제였다. 기하는 수학의 다른 부분과는 달리 고등학교 수학으로 이어지지 않았기 때문이다.
이 모든 생각이 오해라는 것을 대학에 들어간 이후에야 알 수 있었다. 대학교와 대학원에서 해석기하학이니, 미분기하학이니, 위상기하학이니, 아피 기하학이니, 뫼비우스 기하학이니 하는 별의별 희한한 기하학을 접하게 되고, 이런 것들이 실제 공학 부문에서 대단히 유용하다는 것을 새삼 절감한 덕분이다.
_ 박종백(지멘스 연구소장, 전기컴퓨터공학 박사)

이공계나 그런 것 아니냐고요? 글쎄요... 도형을 건너뛰면 두뇌 훈련에서 중요한 한 가지를 빼먹게 된다는 겁니다.

내가 초등학교와 중학교를 다닐 때는 학교와 집, 그리고 책과 TV에서 이 단어를 들은 적이 없다. 그렇다면 내 또래는 논리적이지 않았을까? 절대로 그렇지 않다고 단언한다. 단지 논리라는 단어를 쓰지 않았을 뿐이지 우리도 요즘 아이들 못지않게 논리 교육을 받았다. 언제? 수학 시간에. 도형, 즉 기하는 문제를 무작정 많이 푼다든지 또는 좋은 선생님에게 차근차근 배운다고 해결되지 않았다. 생각을 해야 했다. 아니, 기하를 공부하다 보면 생각하는 법이 저절로 생겼다. _ 이정모(과학평론가)

미국에서 엘리트가 되려면 반드시 도형을!

기하학은 이렇듯 유용합니다. 하지만 그보다 중요한 건 기하학이 중요하다는 겁니다.
서양에서는 이 기하학이라는 게 수사학, 문법, 음악 등과 함께 중세 이래 교양인이라면 누구나 익혀야 하는 7가지 자유 학예 중의 하나였을 정도입니다. 지금도 마찬가지입니다. 미국의 경우 엘리트가 되기 위해서는 중학 과정에서 반드시 이수해야 할 과정으로 받아들이고 있습니다.
우리나라도 사정은 크게 다른 것 같지 않습니다. 앞으로 대학 입시에서 관건으로 작용할 시험은 이른바 '통합 논술'이라고 하는데, 이 통합 논술의 기초가 되는 부분이 바로 논리적 사고이니까요.
어때요? 이제 도형을 한번 제대로 공부하고 싶은 마음이 드나요? 만일 그렇다면 『친절한 도형 교과서』는 크게 도움이 될 겁니다. 이 책을 쓴 필자는 친절하고 유머러스한 설명으로 아이들에게 쉽게 수학의 개념을 잡아 준다고 정평이 나 있기 때문입니다. 또 이 책은 단순한 도형 문제의 풀이가 아닌 기하학적 기초를 다지는 데 중점을 두고 있습니다.
이제 바쁜 선생님 붙잡고 늘어지지 않아도 됩니다. 이제 상위 20%를 위해 강의를 진행하는 학원 선생님을 원망하지 않아도 됩니다. 『친절한 도형 교과서』가 옆에서 하나하나 상세하게 설명해 줄 테니까요.

유클리드의 5공리 사랑

유클리드가 말하기를
같은 것에 같은 것은 서로 같다 하였으니
(A = B, A = C이면 B = C)
그래, 어쩌면 우리는 같은 사람인가 보다.

유클리드가 말하기를
같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체 또한 서로 같다 하였으니
(A = B이면 A + C = B + C)
그래, 어쩌면 우리는 함께하여야 할 운명인가 보다.

유클리드가 말하기를
같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지 또한 서로 같다 하였으니
(A = B이면 A - C = B - C)
그래, 어쩌면 우리는 헤어져서는 안 될 운명인가 보다.

유클리드가 말하기를
서로 포개지는 둘은 같다 하였으니
그래, 어쩌면 우리는 애초부터 하나였나 보다.

유클리드, 그의 마지막 말이
전체는 부분보다 크다 하였으니
그래, 어쩌면 우리는 '홀로서기'가 아닌
'함께서기'를 해야 할 운명인가 보다.

이제 수학 요정이 말하기를
직관이나 경험보다는
빈틈없는 논리가 한 수 위라 하였으니
그래, 어쩌면 우리에게는 기하학이 꼭 필요한가 보다. (친절한 도형 교과서 1권: 본문 69～70쪽 중에서)

"항아리나 맨홀 뚜껑이 원 모양이 아니라 삼각형 모양이면 어떨까요? 또 부엌에서 사용하고 있는 냄비가 사각형 모양이면 어떨까요? 물 마실 때 사용하는 컵이나 빨대의 주둥이도 사각형 모양이면 더 재미있을 거 같아요. 신호등도 그래요. 지금의 원 모양이 아니라 하트 모양이면 보는 사람의 마음이 따뜻해지지 않을까요?"
"삐양아, 우리 집에서 사용하는 접시들이 대개 어떤 모양이지?"
"원 모양이잖아요?"
(..중략..)
"동일한 양의 재료를 사용해서 접시를 만들 때 원이 삼각형이나 다른 도형보다 더 큰 넓이를 갖게 된다는 것을 보여 준단다. 따라서 어떤 음식을 접시에 담는다면 원 모양 접시에 가장 많은 양의 음식을 담아낼 수 있다는 것을 선조들은 알고 있었던 거지."
"엄마! 냄비 바닥이 대부분 원 모양인 것도 많이 담기 위해서인가요?"
"그럴 수도 있겠지. 하지만 냄비의 경우에는 어떤 것이 가스 불이 고루 잘 전달되는 형태인지를 먼저 고려했을 거야.
"(..중략..) 삼각형이나 사각형 모양은 가스 불이 전달되는 거리가 일정하지 않지? 그러다 보면 불기운이 잘 전달되지 않는 곳이 생길 수도 있어. 그에 비해 원 모양은 어느 부분이든 가스 불이 고루 전달된단다. 따라서 냄비 바닥이 원 모양일 때 더 맛있는 요리를 할 수 있겠지?" (친절한 도형 교과서 1권: 본문 252～254쪽 중에서)