책

이 책의 특징은 무엇보다 '역사적 접근법'이라 할 수 있다. 수학의 실제적 기법들을 소개하되, 그것들이 처음 개발되었던 때의 역사적 맥락 안에서 다루기 때문이다. 저자가 택한 역사적 맥락은 18세기이며, 이 시대를 풍미한 천재 레온하르트 오일러는 앞으로 전개될 수학을 위해 새로운 언어와 기법을 창조했다. 이 책은 오일러의 인성과 그의 아이디어들을 중심으로 이야기를 풀어 간다.

수학에 나오는 상수들 가운데 π, e, i가 가장 친숙하다. 그 뒤를 잇는 상수 감마(γ)는 수학의 여러 분야에서 등장하지만 아직도 깊은 신비를 간직하고 있다. 저자는 수학과 역사를 교묘히 엮으면서 독자를 감마를 정의하는 두 요소, 곧 로그와 조화급수의 세계로 끌어들인다. 감마는 오일러가 처음 소개했으며, 그 값은 선뜻 호감이 가지 않는 0.5772156..이다. 감마는 교대조화급수, 해석학, 수론 등 여러 영역에서 놀라운 방식으로 등장한다. 하지만 π나 ㄷe와는 달리 감마의 정확한 값은 신비에 싸여 있으며, 심지어 그 값이 유리수인지 무리수인지도 아직 모른다. 오죽했으면 고트프리 해럴드 하디(Godfrey Harold Hardy)는 감마가 무리수임을 증명하는 사람에게 옥스퍼드에서 자신이 차지하고 있던 서빌기하학석좌교수직을 내놓겠다고 제안했을까!

이 책은 여러 가지 수학 기호들과 수식의 사용을 기피하지 않는다. 이에 대해 저자는 이렇게 말한다. "만일 기피한다면 우리는 수학에 대해 이야기할 수 있을 뿐 실제로 수학을 배우지는 못할 것이기 때문이다. 다만 고도의 기법은 거의 사용하지 않을 것이며 오히려 간단한 아이디어들을 고도로 활용하는 경우가 더 많다 .. 따라서 독자들은 여러 군데에서 종이와 필기구를 쓸 채비를 갖추어야 한다. 수학은 보면서 즐기는 경기가 아니기 때문이다!" 그렇다고 해서 이 책이 접근하지 못할 만큼 어려운 것은 아니다. 저자는 역사적 접근법을 통해 흥미를 더하면서도 다소 어려울 수 있는 주제들을 쉽게 전달한다. 그러므로 깊이가 없는 수학 대중서로는 만족할 수 없는 사람이나 교과서의 건조함과 형식성에 체념한 사람은 이 책에서 자신들이 찾던 것을 발견할 수 있을 것이다.

"수학을 공부하는 참으로 사랑스런 학생들에게 큰 수의 곱셈, 나눗셈, 제곱근, 세제곱근 등의 계산처럼 귀찮고 골치 아픈 것도 없다. 이런 계산들을 하자면 엄청난 시간을 지겹도록 소모해야 할 뿐 아니라 대개의 경우 사소한 잘못을 저지르기 십상이다. 이에 나는 이런 장애들을 극복하는 데에 필요한 확실하고도 간편한 기법이 무엇인지 생각해 보기 시작했다. 그래서 이 용도에 쓰일 여러 가지 방법들을 검토했으며, 마침내 (어쩌면) 이후로도 계속 쓰이게 될 단순하면서도 탁월한 규칙들을 얻어 냈다."
- 1장 로그함수, 31쪽(로그를 발명한 네이피어의 글)

제기될 수 있는 모든 의문 가운데 가장 근본적인 세 가지는 다음과 같다.
(1) 주어진 수가 소수인가?
(2) 어떤 수 x 이하의 소수는 몇 개인가?
(3) x번째 소수 는 무엇인가?
작은 수들의 경우 이에 대한 답은 쉽게 나온다. 101은 소수이며, 50번째 소수는 229이고, 10,000보다 작은 소수는 1,229개이다. 하지만 수가 커질수록 이 문제들은 아주 어려워진다. 252,097,800,623은 소수일까? 100,000,000,000,000,000,000보다 작은 소수는 몇 개일까? 100,000,000,000,000,000번째 소수는 무엇일까? 이런 질문들은 바로 답할 수 없는데, 잘 알다시피 소수의 개수는 무한이므로 이런 것들도 '작은' 수에 지나지 않는다.
- 15장 소수의 문제, 253~254쪽

프랑스의 한 노수학자는 "수학 이론은 길을 가다 처음 만나는 누구에게나 설명할 수 있을 만큼 명확하지 않다면 완전하다고 할 수 없다"라고 말했습니다. 이처럼 수학 이론이 선명하고도 이해하기 쉬워야 한다는 조건에 덧붙여, 저는 완전한 수학적 문제가 갖추어야 할 또 다른 조건을 요구합니다. 우리의 마음은 선명하고 쉽게 이해되는 것에 이끌리고 복잡한 것을 꺼리지만, 모름지기 어떤 수학 문제가 우리를 유혹하려면, 도무지 접근할 수 없을 정도로 어려워 우리의 모든 노력을 비웃는 것이 아닌 한, 충분히 어려워야 합니다.
- 16장 앞장선 리만, 321쪽(1900년 파리 국제수학자회의 다비드 힐베르트의 강연)